Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+4x+1，(x∈[-4，0]) Asin(ωx+φ)，(x∈(0， 5π 3 ])

（其中|ϕ|＜

π

2

）在區(qū)間（0，

5π

3

]上的圖象如圖所示，則：
（Ⅰ）求f（x）的在區(qū)間（0，

5π

3

]上的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=m恒有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由圖象知A=2，T=4（

5π

3

-

2π

3

）=4π，故ω=

2π

T

=

1

2

，因此f(x)=2sin(

1

2

x+Φ），根據(jù)（

2π

3

，2）是五點法作圖中的第二點求出Φ，
（Ⅱ）方程f（x）=m恒有實數(shù)解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，有兩種方法：法一，分兩段討論解方程；法二，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象解題．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象知A=2，T=4（

5π

3

-

2π

3

）=4π，∴ω=

2π

T

=

1

2

，
∴f(x)=2sin(

1

2

x+Φ）
由圖象知：（

2π

3

，2）是五點法作圖中的第二點，
∴

1

2

×

2π

3

+ϕ=

π

2

即ϕ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），x∈（0，

5π

3

]．
（Ⅱ）方程f（x）=m恒有實數(shù)解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，
①當(dāng)x∈（0，

5π

3

]時，由圖象可知f（x）∈[0，2]，
②當(dāng)x∈[-4，0]時，f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴f（x）_min=f（-2）=-3，f（x）_max=f（-4）=f（0）=1，
∴此時f（x）∈[-3，1]，
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域為[-3，2]，
∴f（x）=m恒有實數(shù)解時，實數(shù)m的取值范圍為[-3，2]．
解法二：方程f（x）=m恒有實數(shù)解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）在x∈[-4，0]上的圖象如下，


由圖象可知函數(shù)f（x）的值域為[-3，2]，
∴f（x）=m恒有實數(shù)解時，實數(shù)m的取值范圍為[-3，2]．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，分情況討論是解決分段函數(shù)有關(guān)問題的關(guān)鍵，答題時應(yīng)仔細認真．