Question

13．正三棱錐P-ABC中，底面邊長等于1，側棱PA=$\sqrt{2}$，D，E分別為AB，PC中點，求：
（1）異面直線PD與BE所成角的余弦值；
（2）BE與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點D，連結CD，取CD中點M，連結EM，BM，推導出∠BEM是異面直線PD與BE所成角，由此能求出異面直線PD與BE所成角的余弦值．
（2）過P作PO⊥平面ABC，O是垂足，過E作EF⊥平面ABC，F(xiàn)是垂足，∠EBF是BE與平面ABC所成角，由此能求出BE與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）取AB中點D，連結CD，取CD中點M，連結EM，BM，
∵正三棱錐P-ABC中，底面邊長等于1，側棱PA=$\sqrt{2}$，D，E分別為AB，PC中點，
∴EM∥PD，∴∠BEM是異面直線PD與BE所成角，
由題意得PD=$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，CD=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EM=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
cos∠BPE=$\frac{2+2-1}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{2+\frac{1}{4}-B{E}^{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
BM=$\sqrt{B{D}^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos∠BEM=$\frac{B{E}^{2}+M{E}^{2}-B{M}^{2}}{2×BE×EM}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{7}{16}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴異面直線PD與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）過P作PO⊥平面ABC，O是垂足，過E作EF⊥平面ABC，F(xiàn)是垂足，
則∠EBF是BE與平面ABC所成角，
OD=$\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{6}$，PO=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{4}-\frac{1}{12}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，EF=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{15}}{6}$，
∴sin∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴BE與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正弦直線所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空讓思維能力的培養(yǎng)．