Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1且k∈z時(shí)，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依題意知，當(dāng)x≥e時(shí)，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e時(shí)，a≥（-1-lnx）_max，從而可得a的取值范圍；
（2）依題意，k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，令g(x)=

x+xlnx

x-1

則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，再令h（x）=x-lnx-2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上單增，從而可求得
g（x）_min=x₀∈（3，4），而k∈z，從而可得k的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，又函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥e時(shí)，a+1+lnx≥0恒成立，
∴a≥（-1-lnx）_max=-1-lne=-2，即a的取值范圍為[-2，+∞）；

（2）當(dāng)x＞1時(shí)，x-1＞0，故不等式k（x-1）＜f（x）?k＜

f(x)

x-1

，
即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立．
令g(x)=

x+xlnx

x-1

則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0⇒h(x)在（1，+∞）上單增．
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使h（x₀）=0，
即當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x₀）上單減，在（x₀，+∞）上單增．
令h（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，即lnx₀=x₀-2，g(x)min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x₀∈（3，4），
∴k＜g（x）_min=x₀且k∈Z，
即k_max=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于難題．