【題目】已知橢圓 上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值是最小值的倍，且點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線，與橢圓交于不同于點的、兩點，與直線交于點，記直線、、的斜率分別為、、.試探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)橢圓上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值和最小值分別為，，據(jù)此可得，設(shè)橢圓的方程為：，結(jié)合點在橢圓上可得橢圓的方程為.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：即，，為與橢圓的兩個交點.聯(lián)立直線方程與橢圓方程有.結(jié)合韋達(dá)定理可得.由可得，則.綜上可知.

試題解析：

(Ⅰ)因為橢圓上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值和最小值分別為，，所以依題意有：，

∵，∴.故可設(shè)橢圓的方程為：，

因為點在橢圓上，所以將其代入橢圓的方程得.

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)依題意，直線不可能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為：即，

，為與橢圓的兩個交點.

將代入方程化簡得：.

所以，.

.

又由 ，解得，，

即點的坐標(biāo)為，所以.

因此，與的關(guān)系為：.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)且）在處取得極值.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上的最大值為1，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計值.

（1）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（表示相應(yīng)事件的概率）；

①；

②；

③

評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級.

（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.

①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

②從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】如圖，在三棱錐中， ， ， ， ，平面平面， 為的中點．

（I）求證： 平面；

（II）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點，離心率為，右焦點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓下頂點為，直線（）與橢圓相交于不同的兩點，當(dāng)時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐，平面，底面為直角梯形，，，，，是中點.

(1)求證：平面；

(2)若直線與平面所成角的正切值為，是的中點，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年12月，針對國內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問題，某市政府及時安排部署，加氣站采取了緊急限氣措施，全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況，對該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合年度天然氣需求量 (單位：千萬立方米)與年份 (單位：年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線性回歸方程是，試確定的值，并預(yù)測2018年該地區(qū)的天然氣需求量；

（Ⅱ）政府部門為節(jié)約能源出臺了《購置新能源汽車補(bǔ)貼方案》，該方案對新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定，根據(jù)續(xù)航里程的不同，將補(bǔ)貼金額劃分為三類，A類：每車補(bǔ)貼1萬元，B類：每車補(bǔ)貼2.5萬元，C類：每車補(bǔ)貼3.4萬元.某出租車公司對該公司60輛新能源汽車的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：

為了制定更合理的補(bǔ)貼方案，政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補(bǔ)貼情況，在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本，再從6輛車中抽取2輛車進(jìn)一步跟蹤調(diào)查，求恰好有1輛車享受3.4萬元補(bǔ)貼的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程，并證明對任意，切線經(jīng)過定點；

（Ⅱ）證明：時，有兩個零點、，且．

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