Question

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA＝2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？

Answer 1

點(diǎn)B在使∠AOB＝的位置時(shí)，四邊形OACB面積最大

解析試題分析：在中,由已知OA=2,OB=1,設(shè)∠AOB=,則可應(yīng)用余弦定理將AB的長(zhǎng)用的三角函數(shù)表示出來,進(jìn)而四邊形OACB面積S＝S_△AOB＋S_△AB表示成為的三角函數(shù),再注意將三角函數(shù)化簡(jiǎn)成為的形式,就可求得使四邊形OACB面積最大的角的值,從而就可確定點(diǎn)B的位置.
試題解析：設(shè)∠AOB＝α，                      .1分
在△AOB中，由余弦定理得
AB²＝OA²＋OB²－2×OA×OBcos∠AOB
＝1²＋2²－2×1×2×cosα
＝5－4cosα，                      .4分
于是，四邊形OACB的面積為
S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²               6分
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin＋.                   .10分
因?yàn)?＜α＜π，所以當(dāng)α－＝，α＝，
即∠AOB＝時(shí)，四邊形OACB面積最大12分          12分
考點(diǎn)：1.解三角形;2.三角函數(shù)的性質(zhì).