Question

20．如圖，一個(gè)直角走廊的寬分別為a米、b米，一鐵棒欲通過(guò)該直角走廊，設(shè)鐵棒與廊壁成θ角．求：
（1）棒長(zhǎng)L（用含θ的表達(dá)式表示）；
（2）當(dāng)a=b=2米時(shí)，能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值．（參考公式：sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），sin2θ=2sinθcosθ）．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求得L的解析式．
（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)L的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度L的最大值．

解答 解：（1）由題意可得棒長(zhǎng)L=$\frac{a}{cosθ}$+$\frac{sinθ}$．
（2）當(dāng)a=b=2米時(shí)，能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度L=$\frac{a}{cosθ}$+$\frac{sinθ}$=$\frac{2}{cosθ}$+$\frac{2}{sinθ}$=$\frac{2（sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$
=2$\sqrt{\frac{{（sinθ+cosθ）}^{2}}{{sin}^{2}{θ•cos}^{2}θ}}$=4$\sqrt{\frac{1+sin2θ}{{sin}^{2}2θ}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{sin}^{2}2θ}+\frac{1}{sin2θ}}$．
令t=$\frac{1}{sin2θ}$，∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），2θ∈（0，π），∴t≥1．
L=4$\sqrt{{t}^{2}+t}$=$\sqrt{{（t+\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{4}}$ 在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴t≥4$\sqrt{2}$（米）．
故當(dāng)t=1，即θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，L取得最小值，即能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值為4$\sqrt{2}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，三角恒等變換，屬于中檔題．