Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為T(mén)，且TF與x軸垂直，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  3

  -

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由拋物線的方程算出拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），由TF⊥x軸算出點(diǎn)T坐標(biāo)為（1，2），得到橢圓的半焦距c=1且點(diǎn)T（1，2）在橢圓上，由此建立關(guān)于a、b的方程組解出a=

2

+1，由橢圓的離心率加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），
又∵拋物線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為T(mén)，且TF⊥x軸，
∴設(shè)T（1，y₀），代入拋物線方程得y₀²=4×1=4，得y₀=2（舍負(fù)）．
因此點(diǎn)T（1，2）在橢圓上，橢圓的半焦距c=1，
∴

12 a2 + 22 b2 =1 a2-b2 =1

，解之得a²=3+2

2

，b²=2+2

2

，
由此可得a=

3+2 2

=

2

+1，橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2 +1

=

2

-1．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．