【題目】已知不等式對一切都成立,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,則
若a≤0,則y′>0恒成立,x>﹣1時函數(shù)遞增,無最值.
若a>0,由y′=0得:x=,
當﹣1<x<時,y′>0,函數(shù)遞增;
當x>時,y′<0,函數(shù)遞減.
則x=處取得極大值,也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2,
∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0,
∴b≥﹣lna+a﹣2,
∴≥1﹣﹣,
令t=1﹣﹣,
∴t′=,
∴(0,e﹣1)上,t′<0,(e﹣1,+∞)上,t′>0,
∴a=e﹣1,tmin=1﹣e.
∴的最小值為1﹣e.
點晴:本題主要考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題. 解決這類問題的一種方法法是:通過變量分離將含參函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為不含參的確定函數(shù)的最值問題,本題中a≤0時,則y′>0恒成立,x>﹣1時函數(shù)遞增,無最值.a(chǎn)>0時x=處取得極大值,也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2≤0,可得b≥﹣lna+a﹣2,于是≥1﹣﹣,令t=1﹣﹣,然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,可得的最小值.
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【題目】若a滿足x+lgx=4,b滿足x+10x=4,函數(shù)f(x)= ,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知函數(shù)f(x)= 的定義域為集合A,函數(shù)g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的定義域為集合B.
(1)當m=3時,求A∩(RB)
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},求實數(shù)m的值.
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【題目】如圖,在三棱錐中, 底面, , , , 分別是, 的中點, 在上,且.
(1)求證: 平面;
(2)在線段上上是否存在點,使二面角
的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= cosx(sinx+cosx).
(1)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品,統(tǒng)計結(jié)果如表:
(Ⅰ)求甲流水線樣本合格的頻率;
(Ⅱ)從乙流水線上重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品中任取2個產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品中恰好只有一件合格的概率.
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【題目】已知直線在直角坐標系中的參數(shù)方程為為參數(shù), 為傾斜角),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,在極坐標系中,曲線的方程為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程;
(2)點,若直線與曲線交于兩點,求使為定值的值.
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