Question

給定拋物線(xiàn)C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C交于A、B兩點(diǎn)，若l的法向量

n

=（1，1）．求：
（1）直線(xiàn)l的方程；
（2）求

OA

•

OB

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和直線(xiàn)l的斜率，得到直線(xiàn)方程，再代入拋物線(xiàn)方程，求得交點(diǎn)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可得到．

解答： 解：拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
由l的法向量

n

=（1，1），則l的斜率為-1，
即有直線(xiàn)l：y=-x+1，
代入拋物線(xiàn)方程，得，x²-6x+1=0，解得x=3±2

2

，
即有A（3+2

2

，-2-2

2

），B（3-2

2

，2

2

-2）．
則

OA

•

OB

=（3+2

2

）（3-2

2

）+（-2-2

2

）（-2+2

2

）
=9-8+4-8=-3．
故有（1）x+y-1=0，
（2）

OA

•

OB

=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立．求出交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．