Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4

3

，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°．
（Ⅰ）求二面角A-PB-C的大��；
（Ⅱ）計(jì)算點(diǎn)A到面PBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，過E作AB的平行線交BC于F，再過P作PO垂直于面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于EA的直線為x軸，OF所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．從而可用坐標(biāo)表示點(diǎn)，進(jìn)而可得向量

AB

，

PA

，

CB

，

PB

的坐標(biāo)，分別求出平面PAB的法向量

n1

，平面PBC的法向量

n2

，利用向量的夾角θ的余弦cosθ=

n1 • n2

| n 1|•| n2 |

，可求二面角A-PB-C的大小．
（Ⅱ）利用點(diǎn)A到平面PBC的距離d=

|PA • n2 |

| n2 |

求解即可．

解答：解：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，過E作AB的平行線交BC于F，再過P作PO垂直于面ABCD，易知PO交EF于O，則以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于EA的直線為x軸，OF所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知AE=2

3

，PE=6，∠PEO=60°，得PO=3

3

，OE=3
∴A(2

3

，-3，0)，B(2

3

，5，0)，C(-2

3

，5，0)，P(0，0，3

3

)
∴

AB

=(0，8，0)，

PA

=(2

3

，-3，-3

3

)，

CB

=(4

3

，0，0)，

PB

=(2

3

，5，-3

3

)
設(shè)平面PAB的法向量為

n1

=(x，y，z)，則有

n1 • AB =0 n1 • PA =0

，即

y=0 2 3 x-3 3 z=0

令z=1，得

n1

=(

3

2

，0，1)
設(shè)面PBC的法向量為

n2

=（m，n，1），則有

n2 • CB =0 n2 • PB =0

，即

4 3 m=0 2 3 m+5n-3 3 =0

∴

n2

=(0，

3

5

3

，1)
∴

n1

，

n2

的夾角θ的余弦cosθ=

n1 • n2

| n 1|•| n2 |

=

5

13

則根據(jù)圖形可知，所求二面角A-PB-C為鈍二面角，故大小為π-arccos

5

13

．
（Ⅱ）點(diǎn)A到平面PBC的距離d=

|PA • n2 |

| n2 |

=

12 39

13

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查面面角，考查點(diǎn)面距離，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，點(diǎn)面距離公式求解時(shí)解題的關(guān)鍵