Question

6．在平面直角坐標系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），又點A（8，0），B（-8，t），C（8sinθ，t）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐標；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，當tsinθ取最小值時，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，解方程即可．
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，建立方程關系，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進行求解．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}=（-16，t），\overrightarrow a=（1，2）$
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，即-16+2t=0，得t=8
故$\overrightarrow{OB}=（-8，8）$…（6分）
（Ⅱ）∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，$\overrightarrow{AC}=（8sinθ-8，t）$，$\overrightarrow a=（1，2）$
∴$\frac{8sinθ-8}{1}=\frac{t}{2}$，得t=16sinθ-16…（8分），
$tsinθ=16{sin^2}θ-16sinθ=16{（sinθ-\frac{1}{2}）^2}-4$
故當sinθ=$\frac{1}{2}$時，tsinθ取最小值4，…（10分）
此時$\overrightarrow{OC}=（4，-8）$，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=（8，0）•（4，-8）=32$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量垂直和向量關系的坐標公式是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．