Question

已知函數(shù)：f（x）=lg|x|．請(qǐng)解答下列問題：
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）作出f（x）的大致圖象并寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）解方程：[f（x）]²-3f（x）-4=0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=f（x），可得函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=lg|x|=lgx，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x＞0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)圖象求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由[f（x）]²-3f（x）-4=0可得[f（x）+1][f（x）-4]=0．得f（x）=-1或f（x）=4，進(jìn)而得出lg|x|=-1或lg|x|=4，再求x．

解答： 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=lg|x|，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且滿足f（-x）=lg|-x|=lg|x|=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=lg|x|=lgx，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x＞0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，圖象如圖：

顯然（0，+∞）是f（x）在增區(qū)間，（-∞，0）是減區(qū)間．
 （3）由[f（x）]²-3f（x）-4=0可得[f（x）+1][f（x）-4]=0．
∴f（x）=-1或f（x）=4
∴l(xiāng)g|x|=-1或lg|x|=4，
∴|x|=

1

10

或|x|=10000，
∴x=±

1

10

或x=±10000．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的奇偶性的方法，屬于基礎(chǔ)題．