Question

2．已知曲線C的極坐標方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂．
（1）求曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）若點M在曲線C₂上運動，試求出M到曲線C的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為x²+y²=1，由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$化為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入圓的方程得到曲線C₂，即可參數(shù)方程．
（2）曲線C的極坐標方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，化為直角坐標方程：2y+x-10=0．可得點M到曲線C的距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）-10|}{\sqrt{5}}$，即可得出．

解答 解：（1）將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為x²+y²=1，由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$化為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入圓的方程可得：$（\frac{1}{3}{x}^{′}）^{2}+（\frac{1}{2}{y}^{′}）^{2}$=1，
得到曲線C₂：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{9}+\frac{（{y}^{′}）^{2}}{4}=1$，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=3cosθ}\\{{y}^{′}=2sinθ}\end{array}\right.$．
（2）曲線C的極坐標方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，化為直角坐標方程：2y+x-10=0．
∴點M到曲線C的距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）-10|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴M到曲線C的距離的最小值為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．