Question

7．已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數．
（1）求實數a的值，并判斷f（x）的單調性（不用證明）；
（2）已知不等式f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數的性質得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判斷函數的單調性即可．
（2）根據奇函數的性質將不等式轉化為：f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），再由函數的單調性得log_m$\frac{3}{4}$＜1，利用對數的單調性對m進行分類討論，再求出實數m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域為R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∴$\frac{-1+a}{1+1}$=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=2^x是R上的增函數，
∴f（x）在R上為減函數，
（2）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0
等價于f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），
又∵f（x）是R上的減函數，
∴l(xiāng)og_m$\frac{3}{4}$=log_mm，
∴當0＜m＜1時，$\frac{3}{4}$＞m，即0＜m＜$\frac{3}{4}$；
當m＞1時，$\frac{3}{4}$＜m，即m＞1；
綜上，m的取值范圍是m∈（0，$\frac{3}{4}$）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了對數函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．