Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

a

2

x²-（a+1）x（a＞0，a為常數(shù)）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，證明：當(dāng)x＞1時，f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過：當(dāng)0＜a＜1，a=1，a＞1，分別通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)列表，然后求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=1時，求出f（x），令h（x）=lnx-2x+

2x

x+1

+

x

，（x＞1），將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而解決問題．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ax-（a+1）+

1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

，
①當(dāng)0＜a＜1時，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，

1

a

）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
②當(dāng)a=1時，
f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，對一切x∈（0，+∞）恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時f′（x）=0，
函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）；
③當(dāng)a＞1時，
當(dāng)x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（

1

a

，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
綜上：當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，1）和（

1

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，

1

a

）；
當(dāng)a=1時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

a

）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

1

a

，1）．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

1

2

x²-2x，
∴證明：當(dāng)x＞1時，要證f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

，
即證明：lnx-2x+

2x

x+1

+

x

＜0，（x＞1），
令h（x）=lnx-2x+

2x

x+1

+

x

，（x＞1）
∴h′（x）=

1

x

-2+

2

(x+1)2

+

1

2 x

，
∴h″（x）=-

1

x2

-

4

(x+1)3

-

1

4

x-

3

2

＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）遞減，
∴h′（x）＜h′（1）=0，
∴h（x）在（1，+∞）遞減，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值，考查分類討論以及計算能力．