Question

設(shè)|z₁|=5，|z₂|=2，|z₁-

.

z2

|=

13

，求

. z1

z2

=

 

．

Answer 1

分析：設(shè) z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），求得

.

z

1、

.

z2

以及z₁-

.

z2

，再根據(jù)條件求得cos（α+β）的值，
可得 sin（α+β）的值，再利用復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則求得

. z1

z2

的值．

解答：解：由題意得，可設(shè) z₁=5（cosα+isinα ），z₂=2（cosβ+isinβ），

.

z

1=5[cosα-isinα]=5[cos（-α）+isin（-α）]，

.

z2

=2（cosβ-isinβ）=2[cos（-β）+isin（-β）]，z₁-

.

z2

=（5cosα-2cosβ）+i（5sinα+2sinβ）．
再由|z₁-

.

z2

|=

13

，可得（5cosα-2cosβ）²+（5sinα+2sinβ）²=13，化簡可得 cos（α+β）=

4

5

．
再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得 sin（α+β）=±

3

5

．
故

. z1

z2

=

5[cos(-α)+isin(-α)]

2(cosβ+isinβ)

=

5

2

×[cos（-α-β）+isin（-α-β）]=

5

2

×[cos（α+β）-isin（α+β）]
=

5

2

×[

4

5

±

3

5

i]=2±

3

2

i
故答案為：2±

3

2

i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則應(yīng)用，求出 cos（α+β）=

4

5

、sin（α+β）=±

3

5

，是解題的關(guān)鍵，
屬于基礎(chǔ)題．