給定整數(shù)n≥2，設(shè)M（x，y）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點．
【答案】分析：先求拋物線y2=nx-1與直線y=x的交點，證明n≥2，再設(shè)（，）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點，證明k=+，滿足k≥2，即可證得結(jié)論．
解答：證明：y2=nx-1與y=x聯(lián)立，可得x2-nx+1=0，∴x=
∴x=y=．
∴x+=n≥2．…（5分）
若（，）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點，則k=+．…（10分）
記km=+，由于k1=n是整數(shù)，k2=+=（x+）2-2=n2-2也是整數(shù)，
且km+1=km（x+）-km-1=nkm-km-1，（m≥2）①
所以對于一切正整數(shù)m，km=+是正整數(shù)，且km≥2現(xiàn)在對于任意正整數(shù)m，
取k=+，滿足k≥2，且使得y2=kx-1與y=x的交點為（，）．…（12分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江蘇模擬）f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定整數(shù)n≥2，設(shè)M0（x0，y0）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（
x
m
0
，y
m
0
）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定整數(shù)n≥2，設(shè)M0（x0，y0）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（數(shù)學(xué)公式）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

給定整數(shù)n≥2，設(shè)M0（x0，y0）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（
xm0
，ym0
）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點．

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