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給定整數(shù)n≥2，設M₀（x₀，y₀）是拋物線y²=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（ $數(shù)學公式$ ）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點．

證明：y²=nx-1與y=x聯(lián)立，可得x²-nx+1=0，∴x= $\text{[math]}$
∴x₀=y₀= $\text{[math]}$ ．
∴x₀+ $\text{[math]}$ =n≥2．…（5分）
若（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點，則k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．…（10分）
記k_m= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由于k₁=n是整數(shù)，k₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₀+ $\text{[math]}$ ）²-2=n²-2也是整數(shù)，
且k_m+1=k_m（x₀+ $\text{[math]}$ ）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以對于一切正整數(shù)m，k_m= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是正整數(shù)，且k_m≥2現(xiàn)在對于任意正整數(shù)m，
取k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，滿足k≥2，且使得y²=kx-1與y=x的交點為（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．…（12分）
分析：先求拋物線y²=nx-1與直線y=x的交點，證明n≥2，再設（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點，證明k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，滿足k≥2，即可證得結論．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．

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，y

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