Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx，
（1）若f（x）+a=0在[0，2]有二解，求a的取值范圍•
（2）若在定義域內(nèi)存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，刻畫其圖象，再由用函數(shù)思想將方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)f（x）=x²-2lnx，y=-a圖象交點的個數(shù)問題解決．
（2）在定義域內(nèi)存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立．則只需使m≥f（x）_最小值．

解答：解：（1）f(x)=x2-2lnx?f，(x)=2x-

2

x

=

2(x-1)(x+1)

x

∵x＞0，
∴f（x）在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增．
∴f（x）_最小值=f（x）_極小值=f（1）=1
∵f（2）=4-2ln2
∴a∈[2ln2-4，-1）
（2）在定義域內(nèi)存在x₀，使不等式f（x₀）-m≤0能成立．
則只需使m≥f（x）_最小值，
∴m≥1

點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及刻畫函數(shù)圖象用數(shù)形結(jié)合法解決方程根的問題．