Question

16．函數(shù)f（x）=lnx-mx
（Ⅰ）若曲線y=f（x）過點P（1，-1），求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（Ⅲ）若x∈[1，e]，求證：lnx＜$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線y=f（x）過點P（1，-1），可得-1=ln1-m，解得m，再利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用點斜式可得切線方程．
（Ⅱ）求出f′（x），對m分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．
（Ⅲ）結合（Ⅱ）的結論，證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線y=f（x）過點P（1，-1），∴-1=ln1-m，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f′（1）=0，
∴過點P（1，-1）的切線方程為y=-1．
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$．
①當m≤0時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）為單增函數(shù)，∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
②當$\frac{1}{e}$＜m＜1時，即1＜$\frac{1}{m}$＜e時，x∈（0，$\frac{1}{m}$）時，f'（x）＞0，f（x）為單增函數(shù)．
x∈（$\frac{1}{m}$，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）為單減函數(shù)．
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1．
③當m≥1時，0＜$\frac{1}{m}$≤1，f（x）在（$\frac{1}{m}$，+∞）為單減函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
④當0＜m≤$\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{m}$≥e，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）為單增函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
綜上所述：m≤$\frac{1}{e}$時，f（x）_max=f（e）=1-me．
當$\frac{1}{e}$＜m＜1時，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1．
當m≥1時，x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）②得：m=$\frac{1}{2}$，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=f（2）=-ln2-1＜0，
故x∈[1，e]，lnx＜$\frac{x}{2}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、解不等式、導數(shù)的幾何意義，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．