Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，PB⊥平面ABCD，PB=AB=AD=3，點E在線段PA上，且滿足$\frac{PE}{EA}$=λ．
（1）若PC∥平面BDE，求實數(shù)λ的值，
（2）在（1）的條件下，求三棱錐B-EDC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AC交BD于F，連結EF，由線面平行的性質(zhì)得PC∥EF，故而$\frac{PE}{EA}=\frac{FC}{FA}$，由于底面為直角梯形，AB=AD，BD⊥CD可得△BCD是等腰直角三角形，從而求出BC，于是$\frac{FC}{FA}=\frac{BC}{AD}$；
（2）求出E到底面的距離和△BCD的面積即可求出棱錐的體積．

解答 解：（1）連結AC交BD于F，連結EF，
∵PC∥平面BDE，PC?平面APC，平面APC∩平面BDE=EF，
∴PC∥EF，∴$\frac{PE}{EA}=\frac{FC}{FA}$．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB=AD=3，∴BD=3$\sqrt{2}$，∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠DBC=45°，又∵BD⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=$\sqrt{2}$BD=6．
∵AD∥BC，∴△ADF∽△CFB，
∴$\frac{FC}{FA}=\frac{BC}{AD}$=$\frac{6}{3}$=2．
∴λ=2．
（2）∵$\frac{PE}{EA}=2$，PB⊥平面ABCD，
∴E到底面ABCD的距離h=$\frac{1}{3}$PB=1．
∴三棱錐B-EDC的體積V=V_棱錐E-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×BD×CD×h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}×1$=3．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．