Question

20．橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過右焦點F且斜率為1的直線L與橢圓C相交于A，B兩點
（1）求右焦點F的坐標(biāo)
（2）求弦長AB的值．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的a，b，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，即可得到右焦點；
（2）將直線y=x-1代入橢圓方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的a=2，b=$\sqrt{3}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
可得右焦點F的坐標(biāo)為（1，0）；
（2）由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直線l：y=x-1聯(lián)立得：
7x²-8x-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}，{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
則|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{32}{7}}$=$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查橢圓的焦點的求法，考查弦長的求法，注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．