Question

18．如圖5所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDFE是平行四邊形，點(diǎn)M，N分別是BE，CF的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面ABCD；
（2）若△ABE是等邊三角形且平面ABE⊥平面ABCD，記三棱柱E-ABF的體積為S₁，四棱錐F-ABCD的體積為S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）取DF的中點(diǎn)H，連接MH，NH，推導(dǎo)出NH∥CD．MH∥BD，從而平面MNH∥平面ABCD，由此能證明MN∥平面ABCD．
（2）推導(dǎo)出DF∥平面ABE，從而S₁=V_E-ABF=V_F-ABE=V_D-ABE=V_E-ABD，推導(dǎo)出EF∥平面ABCD，從而S₂=V_F-ABCD=V_E-ABCD=2V_E-ABD=2S₁，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）如圖，取DF的中點(diǎn)H，連接MH，NH，
∵點(diǎn)N，H分別是CF，DF的中點(diǎn)，∴NH∥CD．
∵EBDF是平行四邊形，且點(diǎn)M，H是BE，DF的中點(diǎn)，∴MH∥BD，
又MH∩NH=H，BD∩CD=D，∴平面MNH∥平面ABCD，
又∵M(jìn)N?平面MNH，∴MN∥平面ABCD．
解：（2）∵DF∥BE，DF?平面ABE，BE?平面ABE，
∴DF∥平面ABE，
∴S₁=V_E-ABF=V_F-ABE=V_D-ABE=V_E-ABD，
又EF∥BD，EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
∴S₂=V_F-ABCD=V_E-ABCD=2V_E-ABD=2S₁，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱柱與四棱錐的體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．