Question

3．點(diǎn)P是橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁和F₂是焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°，則△F₁PF₂的面積是8-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 方法一：由橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，由余弦定理：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|?cos30^?=|F₁F₂|²=（2c）²=4，代入即可求得：|PF₁|?|PF₂|，根據(jù)三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$|PF₁|?|PF₂|?sin30°，即可求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：方法一：由題意可知：橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1焦點(diǎn)在y軸上，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
又∵P在橢圓上，則|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理得：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|?cos30^?=|F₁F₂|²=（2c）²=4
解得：|PF₁|?|PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$），
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|?|PF₂|?sin30°=8-4$\sqrt{3}$，
故答案為：8-4$\sqrt{3}$．
方法二：由題意可知：橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1焦點(diǎn)在y軸上，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
由焦點(diǎn)三角形的面積公式可知：△F₁PF₂的面積S=b²•$\frac{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}{1+cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=4×$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8-4$\sqrt{3}$，
故答案為：8-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓定義，余弦定理及焦點(diǎn)三角形的面積公式，考查學(xué)生對(duì)公式的掌握程度，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．