Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c+lnx．
（1）當a=b時，若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）設函數f（x）在x=

1

2

，x=1處取得極值，且f（1）=-1，若對任意的x∈[

1

4

，2]，f（x）≤m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導函數，結合函數f（x）在定義域上是單調函數，分a=0時和a≠0時兩種情況，討論滿足條件的a值，最后綜合討論結果，可得答案．
（2）根據f（x）在x=1，和x=

1

2

處取得極值，建立方程組，從而可得函數解析式；確定函數的極大值，從而可得函數的最值，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=b時，f′（x）=2ax+a+

1

x

=

2ax2+ax+1

x

…（2分）
若函數f（x）在定義域上是單調函數，
當a=0時，f′（x）=

1

x

恒成立，此時函數f（x）在定義域上是單調遞增函數，滿足條件；
當a≠0時，f′（x）＞0，或f′（x）＜0恒成立，
故2ax²+ax+1的△=a²-8a＜0
解得：0＜a＜8，
綜上所述，實數a的取值范圍為：0≤a＜8，…（6分）
（2）f′（x）=

2ax2+bx+1

x

…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=

1

2

處取得極值，
∴f′（1）=f′（

1

2

）=0…（8分）
∴

2a+b+1=0 a+b+2=0

，
∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-3x+1+lnx…（9分）
∴f′（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
∴當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]單調遞增．
x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]單調遞減
x∈[1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上單調遞增…（11分）
∴f（x）極大值=f（

1

2

）=

1

4

-ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f（2）-f（

1

2

）=-

3

4

+ln4＞0
∴f（x）_max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．