Question

【題目】設函數(shù)，，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若，，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，，且線段的中點為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求導，令，得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出的取值范圍，從而得解；

（2）根據(jù)題意，求出，然后利用分析法進行證明即可.

（1）的定義域為，，

則在上存在兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，

由，解得，

令，則，

令，則，

當時，，故函數(shù)在上單調遞減，且，

所以，當時，，，單調遞增，

當時，，，單調遞減，

所以，是的極大值也是最大值，

所以，所以，

又當時，，當時，大于0且趨向于0，

要使在有兩個根，則；

（2）證明：，

由，得，則，

要證成立，

只需證，即，

即，

設，即證，

要證，只需證，

令，則，

所以在上為增函數(shù)，所以，即成立；

要證，只需證，

令，則，

所以在上為減函數(shù)，

所以，即成立；

所以成立，即成立.