【題目】設函數(shù),,其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若,,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,,且線段的中點為,證明:.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)求導,令,得出,構造函數(shù),利用導數(shù)求出的取值范圍,從而得解;
(2)根據(jù)題意,求出,然后利用分析法進行證明即可.
(1)的定義域為,,
則在上存在兩個極值點等價于在上有兩個不等實根,
由,解得,
令,則,
令,則,
當時,,故函數(shù)在上單調遞減,且,
所以,當時,,,單調遞增,
當時,,,單調遞減,
所以,是的極大值也是最大值,
所以,所以,
又當時,,當時,大于0且趨向于0,
要使在有兩個根,則;
(2)證明:,
由,得,則,
要證成立,
只需證,即,
即,
設,即證,
要證,只需證,
令,則,
所以在上為增函數(shù),所以,即成立;
要證,只需證,
令,則,
所以在上為減函數(shù),
所以,即成立;
所以成立,即成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左右焦點分別為,的周長為12.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點,是否存在過點的直線與曲線交于不同的兩點,使得,若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.
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【題目】我們打印用的A4紙的長與寬的比約為,之所以是這個比值,是因為把紙張對折,得到的新紙的長與寬之比仍約為,紙張的形狀不變.已知圓柱的母線長小于底面圓的直徑長(如圖所示),它的軸截面ABCD為一張A4紙,若點E為上底面圓上弧AB的中點,則異面直線DE與AB所成的角約為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=2.
(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(2)曲線C2上兩點與點B(ρ2,α),求△OAB面積的最大值.
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【題目】設函數(shù),,其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若,,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,,,,且線段的中點為,證明:.
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【題目】臺球運動已有五、六百年的歷史,參與者用球桿在臺上擊球.若和光線一樣,臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律如圖,有一張長方形球臺ABCD,,現(xiàn)從角落A沿角的方向把球打出去,球經2次碰撞球臺內沿后進入角落C的球袋中,則的值為( )
A.B.C.1D.
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