Question

知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出定義域、值域．
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）主要是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)表達(dá)式就可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式寫出定義域和值域．
（2）因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)間上x＞0，所以可以分離常數(shù)法講參數(shù)a和自變量x分到不等式的兩邊，問題就轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的求最值問題，法一：是利用二此函數(shù)的配方法求出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最大值；法二：是利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最大值，求出最大值后從而就可以求出a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（-x，2-y）在h（x）的圖象上（3分）
∴2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，即f(x)=x+

1

x

（6分）
f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x≠0），值域?yàn)椋簕x|x≤0或x≥4}
（2）由題意  g(x)=x+

a+1

x

，且g(x)=x+

a+1

x

≥6
∵x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，（9分）
令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8，
∴x∈（0，2]時(shí)，q（x）_max=7（11分）
∴a≥7（13分）
方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]時(shí)，q′（x）＞0
即q（x）在（0，2]上遞增，
∴x∈（0，2]時(shí)，q（x）_max=7
即  a≥x²-1在x∈（0，2]時(shí)恒成立．
∵x∈（0，2]時(shí)，（x²-1）_max=3
∴a≥3
∴a≥7

點(diǎn)評(píng)：本題第1問主要考查函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題，主要用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決，第2問考查恒成立問題，此類問題經(jīng)常先分離常數(shù)，在轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．