Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R）是奇函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)a的值；  
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，f（0）=0，可以求解實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用單調(diào)性的定義直接進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

a•20+a-2

20+1

=

2a-2

2

=a-1=0，
解得a=1，
∴a=1．
（2）根據(jù)（1），得
函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
它在R上為單調(diào)增函數(shù)．證明如下：
任設(shè)x₁，x₂?R，x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明問題時(shí)，一定要分解到足以判斷符號為止，切不可隨意判斷符合，導(dǎo)致不該出現(xiàn)的錯誤．