Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓

x2

4

+

y2

2

=1于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離；
（2）對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

），于是C（

2

3

，0），由此能求出點(diǎn)P到直線AB的距離．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，A（-x₁，-y₁），C（x₁，0），kPA=

y1

x1

，kPB=

y1-y2

x1-x2

，利用點(diǎn)差法能證明PA⊥PB．

解答： （1）解：直線PA的方程為y=2x，
代入橢圓方程得

x2

4

+

4x2

2

=1，
解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

），
于是C（

2

3

，0），直線AC的斜率為

0+ 4 3

2 3 + 2 3

=1，
故直線AB的方程為x-y-

2

3

=0．
因此，點(diǎn)P到直線AB的距離為

| 2 3 - 4 3 - 2 3 |

12+12

=

2 2

3

．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，A（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k_PA，k_PB，
kPA=

y1

x1

，kPB=

y1-y2

x1-x2

，
∵

x12

4

+

y12

2

=1，①，

x22

4

+

y22

2

=1，②
①-②得：

y12-y22

x12-x22

=

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-

1

2

，
∵k_AB=

y1+y2

x1+x2

=k_AC=

y1

2x1

，
∴k_PA•k_PB=-1，
∴PA⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查兩直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．