Question

19．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需要了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷量y（單位：）和利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)x_i（i=1，2，…，8）和年銷售量y_i數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，$y=a+bx，y=c+d\sqrt{x}$哪一個(gè)更適合作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題；
①當(dāng)年宣傳費(fèi)x=90時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？
②當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{μ}$．

Answer 1

分析 （1）由散點(diǎn)圖成線性分布，即可得出判斷；
（2）先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，再求y關(guān)于x的回歸方程；
（3）①由（2）計(jì)算x=90時(shí)年銷售量y的預(yù)報(bào)值和年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，
②根據(jù)（2）的結(jié)果，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出x為何值時(shí)z取得最大值．

解答 解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可得出判斷，
y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，
由于$\stackrel{∧}yqw2agy$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）}^{2}}$=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
$\stackrel{∧}{c}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}okq42a4$$\overline{x}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y關(guān)于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$；
（3）①由（2）知，當(dāng)x=90時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值為
$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{90}$=745.7，
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值為
$\stackrel{∧}{z}$=745.7×0.2-90=59.14；
②根據(jù)（2）的結(jié)果可知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值
$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24時(shí)z取得最大值，
故宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．