已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),F(xiàn)為其焦點,離心率為e.
(Ⅰ)若拋物線x=
1
8
y2的準(zhǔn)線經(jīng)過F點且橢圓C經(jīng)過P(2,3),求此時橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過A(0,a)的直線與橢圓C相切于M,交x軸于B,且
AM
=μ
BA
,求證:μ+c2=0.
分析:(Ⅰ)依題意知F(-2,0),即c=2,由橢圓定義知:2a=
(2+2)2+32
+
(2-2)2+32
=8,即a=4
,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由題意可設(shè)直線的方程為:y=kx+a,根據(jù)過A(0,a)的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
相切可得:(a2k2+b2)x2+2a3kx+a2c2=0,由△=4a6k2-4a2c2(a2k2+b2)=0,知B(-
a
k
,0)
,由此入手能夠證明μ+c2=0.
解答:解:(Ⅰ)依題意知F(-2,0),即c=2,(2分)
由橢圓定義知:2a=
(2+2)2+32
+
(2-2)2+32
=8,即a=4
,(3分)
所以b2=12,
即橢圓C的方程為:
x2
16
+
y2
12
=1
.(5分)
(Ⅱ)證明:由題意可設(shè)直線的方程為:y=kx+a
根據(jù)過A(0,a)的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
相切
可得:(a2k2+b2)x2+2a3kx+a2c2=0(8分)
△=4a6k2-4a2c2(a2k2+b2)=0?a2k2(a2-c2)=c2b2?k2=e2(10分)
易知B(-
a
k
,0)
,
設(shè)M(x0,y0)則由上知x0=-
a3k
a2k2+b2
(11分)
AM
=(x0,y0-a),
BA
=(
a
k
,a),
AM
BA
x0=μ•
a
k
?-
a3k
a2k2+b2
=μ•
a
k
,?-
a2k2
a2k2+b2
=μ?-
c2
c2+b2

∴μ+c2=0(13分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要靈活地運用橢圓的性質(zhì),要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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