Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，平面平面，，，且，，，的中點(diǎn)分別是，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（Ⅱ）根據(jù)題意，計算出，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)等體積法，即可求出結(jié)果.

（Ⅰ）連接，，由題目可知四邊形為正方形，所以．

因?yàn)?/span>，的中點(diǎn)是，所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，在平面內(nèi)，，

所以平面．

所以．

又因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>，的中點(diǎn)分別是，，所以．

所以平面．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，

所以，．

所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，則．

所以在中，由余弦定理得．

則．則．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則

由三棱錐三棱錐，得，

即，解得．

即點(diǎn)到平面的距離為．