【題目】已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=aln x+x2-4x.
(1)是否存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)g(x)=(a-2)x,若x0∈,使得f(x0)≤g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)反證法求解,利用求得后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷,可得結(jié)論不成立.(2)問題等價于x0∈,使得(x0-ln x0)a≥-2x0成立,經(jīng)驗證可得x0-ln x0>0,分離參數(shù)后得到“x0∈,使得成立”,然后令,求出的最小值后可得所求的范圍.
(1)由題意得函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f(x)=aln x+x2-4x,
∵f′(x)=+2x-4=.
假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)在x=1處取得極值,
則,解得a=2,
此時,f′(x)=,
當(dāng)x>0時,f′(x)≥0恒成立,
∴ f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ x=1不是f(x)的極值點.
故不存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值.
(2)由f(x0)≤g(x0),得(x0-ln x0)a≥x-2x0,
記F(x)=x-ln x(x>0),則F′(x)= (x>0),
∴ 當(dāng)0<x<1時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.
∴ F(x)>F(1)=1>0,
∴ a≥,
記G(x)=,x∈,
∴G′(x)==.
∵ x∈,
∴ 2-2ln x=2(1-ln x)≥0,
∴ x -2ln x+2>0,>
∴ 當(dāng)x∈時,G′(x)<0,G(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,e)時,G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,
∴ G(x)min=G(1)=-1.
∴ a≥G(x)min=-1.
故實數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)的生活豐富多彩,很多學(xué)生除了學(xué)習(xí)本專業(yè)的必修課外,還會選擇一些選修課來充實自已.甲同學(xué)調(diào)查了自己班上的名同學(xué)學(xué)習(xí)選修課的情況,并作出如下表格:
每人選擇選修課科數(shù) | |||||||
頻數(shù) |
(1)求甲同學(xué)班上人均學(xué)習(xí)選修課科數(shù):
(2)甲同學(xué)和乙同學(xué)的某門選修課是在同一個班,且該門選修課開始上課的時間是早上,已知甲同學(xué)每次上課都會在到之間的任意時刻到達教室,乙同學(xué)每次上課都會在到之間的任意時刻到達教室,求連續(xù)天內(nèi),甲同學(xué)比乙同學(xué)早到教室的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點,過這兩點分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點.
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點為,點的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點為,且直線與拋物線交于兩點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為是上一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點的對稱點,平行于的直線交于異于的兩點.點關(guān)于原點的對稱點為.證明:直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.
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【題目】今年1月至2月由新型冠狀病毒引起的肺炎病例陡然增多,為了嚴(yán)控疫情傳播,做好重點人群的預(yù)防工作,某地區(qū)共統(tǒng)計返鄉(xiāng)人員人,其中歲及以上的共有人.這人中確診的有名,其中歲以下的人占.
確診患新冠肺炎 | 未確診患新冠肺炎 | 合計 | |
50歲及以上 | 40 | ||
50歲以下 | |||
合計 | 10 | 100 |
(1)試估計歲及以上的返鄉(xiāng)人員感染新型冠狀病毒引起的肺炎的概率;
(2)請將下面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有%的把握認(rèn)為是否確診患新冠肺炎與年齡有關(guān);
參考表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線與曲線,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線,的極坐標(biāo)方程;
(2)在極坐標(biāo)系中,已知與,的公共點分別為,,,當(dāng)時,求的值.
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【題目】2018年3月5日上午,李克強總理做政府工作報告時表示,將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.新能源汽車銷售的春天來了!從衡陽地區(qū)某品牌新能源汽車銷售公司了解到,為了幫助品牌迅速占領(lǐng)市場,他們采取了保證公司正常運營的前提下實行薄利多銷的營銷策略(即銷售單價隨日銷量(臺)變化而有所變化),該公司的日盈利(萬元),經(jīng)過一段時間的銷售得到,的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
日銷量臺 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
日盈利萬元 | 6 | 13 | 17 | 20 | 22 |
將上述數(shù)據(jù)制成散點圖如圖所示:
(1)根據(jù)散點圖判斷與中,哪個模型更適合刻畫,之間的關(guān)系?并從函數(shù)增長趨勢方面給出簡單的理由;
(2)根據(jù)你的判斷及下面的數(shù)據(jù)和公式,求出關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測當(dāng)日銷量時,日盈利是多少?
參考公式及數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,;
,,
,.
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【題目】已知函數(shù),、、,且都有,滿足的實數(shù)有且只有個,給出下述四個結(jié)論:
①滿足題目條件的實數(shù)有且只有個;②滿足題目條件的實數(shù)有且只有個;
③在上單調(diào)遞增;④的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
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