Question

正數(shù)等差數(shù)列{a_n}，若存在常數(shù)t，使得a_2n=ta_n，對(duì)一切n∈N^*均成立，則t可能取的值是（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．1或3

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，將“若存在常數(shù)t，使得a_2n=ta_n，對(duì)一切n∈N^*均成立”，轉(zhuǎn)化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立問(wèn)題解決．
解答：解：{a_n}是正數(shù)等差數(shù)列，a_2n=ta_n   那么根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得a₁+（2n-1）d=t[a₁+（n-1）d]，移向化簡(jiǎn)并整理得（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立．
∴  由①得，t=2，此時(shí)結(jié)合②，a₁=d≠0，數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=nd，符合題意．
由②得，t=1，結(jié)合①d=0，數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1 數(shù)列為正數(shù)常數(shù)列，符合題意．
所以t可能取的值是 1，2
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查在數(shù)列背景下的等式恒成立的條件．轉(zhuǎn)化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立是關(guān)鍵．要注意驗(yàn)證t的取值是否使得數(shù)列存在．