Question

（06年北京卷理）（14分）

已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

解析：（1）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）

（1）       當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝x₀，此時(shí)A（x₀，），

B（x₀，－），＝2

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：

（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°

依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

解得|k|>1又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

綜上可知的最小值為2