Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*）
求S₁、S₂、S₃的值，并求出S_n及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 先寫(xiě)出S₁，將原式化簡(jiǎn)求得S_n，分別寫(xiě)出S₂、S₃，利用歸納推理寫(xiě)出S_n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，再求得a_n．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}$，
∵（S_n-1）²=a_nS_n，
$（{S}_{n}-1）^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）{S}_{n}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
${S}_{2}=\frac{2}{3}$，${S}_{3}=\frac{3}{4}$，
猜想${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，${S}_{1}=\frac{1}{2}，{S}_{1}=\frac{n}{n+1}$猜想正確；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想正確，即${S}_{k}=\frac{k}{k+1}$，
那么，n=k+1時(shí)，由${S}_{k+1}=\frac{1}{2-{S}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，猜想也成立，
綜上知，${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$對(duì)一切自然數(shù)n均成立．
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察求數(shù)列的通項(xiàng)公式，和利用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．