Question

7．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=4，D為棱BB₁上一點(diǎn)，B₁D=1，E為線段AC上一點(diǎn)，AE=3．
（I）證明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若BE⊥AC，求四棱錐A-BCC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）過E作EF∥CC₁交AC₁于F，連結(jié)DF，則可證四邊形BEFD是平行四邊形，故而BE∥DF，得出BE∥平面AC₁D；
（2）由BE⊥AC，BE⊥AA₁得出BE⊥平面ACC₁A₁，將四棱錐A-BCC₁D分解成兩個(gè)小三棱錐D-ACC₁和D-ABC求出體積．

解答 （1）證明：過E作EF∥CC₁交AC₁于F，連結(jié)DF，則EF∥CC₁∥BB₁
∵AC=AA₁=BB₁=CC₁=4，AE=3，B₁D=1，
∴AE=3，BD=3，$\frac{EF}{C{C}_{1}}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴EF=3，∴EF=BD．
∴四邊形EFDB是平行四邊形，
∴BE∥DF，又BE?平面AC₁D，DF?平面AC₁D，
∴BE∥平面AC₁D．
（II）解：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
又∵平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁，∵DF∥BE，
∴DF⊥平面ACC₁A₁．
∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，∴DF=BE=$\sqrt{7}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BE$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{7}$=2$\sqrt{7}$．S${\;}_{△AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}AC•C{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
∴V${\;}_{A-BC{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-AC{C}_{1}}$+V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{AC{C}_{1}}•DF$+$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•BD$=$\frac{1}{3}×8×\sqrt{7}$+$\frac{1}{3}×2\sqrt{7}×3$=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，使用分解法計(jì)算多面體體積是常用解法之一，屬于中檔題．