Question

設a∈N₊，且n∈N₊時，求證：aⁿ⁺²+（a+1）²ⁿ⁺¹能被a²+a+1整除．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：本題考查的知識點是數學歸納法，我們可以先驗證①n=1時命題是否成立②假設n=k時命題成立③推證n=k+1時命題成立，即可得結論．

解答： 證明：（1）當n=1時，a³+（a+1）³=（2a+1）（a²+a+1）可被a²+a+1整除
（2）假設n=k（k∈N^*）時，a^k+2+（a+1）^2k+1能被a²+a+1整除，
則當n=k+1時，
a^k+3+（a+1）^2k+3=a•a^k+2+（a+1）²（a+1）^2k+1
=a[a^k+2+（a+1）^2k+1]+（a²+a+1）（a+1）^2k+1，
由假設可知a[a^k+2+（a+1）^2k+1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k+1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+3+（a+1）^2k+3能被（a²+a+1）整除，
即n=k+1時命題也成立，
∴對任意n∈N^*原命題成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．