Question

設(shè)a∈N₊，且n∈N₊時(shí)，求證：aⁿ⁺²+（a+1）²ⁿ⁺¹能被a²+a+1整除．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，我們可以先驗(yàn)證①n=1時(shí)命題是否成立②假設(shè)n=k時(shí)命題成立③推證n=k+1時(shí)命題成立，即可得結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a³+（a+1）³=（2a+1）（a²+a+1）可被a²+a+1整除
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，a^k+2+（a+1）^2k+1能被a²+a+1整除，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a^k+3+（a+1）^2k+3=a•a^k+2+（a+1）²（a+1）^2k+1
=a[a^k+2+（a+1）^2k+1]+（a²+a+1）（a+1）^2k+1，
由假設(shè)可知a[a^k+2+（a+1）^2k+1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k+1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+3+（a+1）^2k+3能被（a²+a+1）整除，
即n=k+1時(shí)命題也成立，
∴對任意n∈N^*原命題成立．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．