【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,且,,,N的中點.

1)求證:平面

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值

3)在線段上是否存在一點M,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,說明理由

【答案】1)見解析;(23)存在,

【解析】

1)首先過,垂足為,以為坐標原點,分別以,,軸建立空間直角坐標系,分別求出和平面的法向量,根據(jù)即可證明平面.

2)求出平面的法向量為,再代入二面角公式計算即可得到答案.

(3)首先假設(shè)線段上存在一點,設(shè),,得到,根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,求得,所以存在,且.

(1)過,垂足為,則,

為坐標原點,分別以,,軸建立空間直角坐標系,

如圖所示:

,,

,,,

設(shè)平面的一個法向量為

,,

,令,解得:.

因為,所以

平面,所以平面.

2)設(shè)平面的一個法向量為

因為,

所以,令,解得.

所以.

即平面與平面所成銳二面角的余弦值.

3)假設(shè)線段上存在一點,設(shè),.

因為,所以

因為平面的一個法向量

所以,

整理得:,

所以,因為,所以.

所以存在,且.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)①若過點且與直線垂直的直線(斜率存在且不為零)交橢圓兩點,證明為定值.

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1)根據(jù)莖葉圖判斷男生組和女生組哪個組對網(wǎng)課的評價更高?并說明理由;

2)如圖是按該20名學(xué)生的評分繪制的頻率分布直方圖,求的值并估計這20名學(xué)生評分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表);

3)求該20名學(xué)生評分的中位數(shù),并將評分超過和不超過的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

男生

女生

根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認為男生和女生的評分有差異?

附:,

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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1)求游戲結(jié)束時朝上點數(shù)之和為5的概率;

2)參與者可以選擇兩種方案:方案一:游戲結(jié)束時,若朝上的點數(shù)之和為偶數(shù),獎勵3本不同的暢銷書;若朝上的點數(shù)之和為奇數(shù),獎勵1本暢銷書.方案二:游戲結(jié)束時,最后一次朝上的點數(shù)為偶數(shù),獎勵5本不同的暢銷書,否則,無獎勵.試分析哪一種方案能使游戲參與者獲得更多暢銷書獎勵?并說明判斷的理由.

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在以上兩個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并解決該問題:

若平面平面,______,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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