Question

在△ABC中，已知，c=10，P是△ABC的內(nèi)切圓上一點，則PA²+PB²+PC²的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由，結(jié)合正弦定理，我們易判斷三角形的形狀，進而給出三角形的三邊長，及三角形內(nèi)切圓半徑，以C為原點建立坐標設(shè)后，構(gòu)造內(nèi)切圓方程，和PA²+PB²+PC²的表達式，結(jié)合P點位置范圍，即可得到結(jié)論．
解答：解：∵=
∴sinA•cosA=sinB•cosB
 即sin2A=sin2B
由a≠b，故A≠B
∴2A+2B=π
即A+B=
∴C=
又∵c=10，
∴a=6，b=8，
則內(nèi)切圓半徑r=2，
以C為原點，CA，CB分別為X，Y軸正方向建立坐標系，
則C（0，0），A（8，0），B（0，6）
設(shè)P（x，y），則（x-2）²+（y-2）²=4
PA²+PB²+PC²
=x²+y²+（x-8）²+y²+x²+（y-6）²
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=88-4x
當x=0時，PA²+PB²+PC²取最大值為88
故答案：88
點評：本題考查的知識有正弦定理，三角形內(nèi)切圓求法，函數(shù)的最值，其中根據(jù)三角形形狀，構(gòu)造坐標系，進而將PA²+PB²+PC²的最大值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值問題，是解答的關(guān)鍵．