Question

3．在a＞0，b＞0的情況下，下面三個結(jié)論：
①$\frac{2ab}{a+b}≤\frac{a+b}{2}$； 
②$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$；  
③$\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$； 
④$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥a+b$．
其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：a＞0，b＞0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，
∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{a+b}{2}$，
∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴$\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$； 
∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥ab（a+b），
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥a+b$．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了基本不等式性質(zhì)的應用，屬于基礎題．