Question

11．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=1，b=2，cosC=$\frac{11}{16}$．
（1）求△ABC的周長(zhǎng)；
（2）求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知及余弦定理可解得c的值，即可得解△ABC的周長(zhǎng)．
（2）由已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得$sinC=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$，利用正弦定理即可求得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{8}$．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵a=1，b=2，$cosC=\frac{11}{16}$．
∴根據(jù)余弦定理，${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC=1+4-4×\frac{11}{16}=\frac{9}{4}$…（4分）
∴$c=\frac{3}{2}$…（5分），
∴△ABC的周長(zhǎng)為$a+b+c=\frac{9}{2}$…（6分）
（2）∵由$cosC=\frac{11}{16}$（0＜C＜π）得，$sinC=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$…（8分）
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得，$\frac{1}{sinA}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{3\sqrt{15}}}{16}}}$…（10分）
∴解得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{8}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．