Question

6．已知如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，MC⊥平面ABC，D、E分別是線段AC、AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折至△NDE，平面NDE⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：平面BCM∥平面EDN；
（Ⅱ）求三棱錐M-EDN的體積V．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出MC∥平面EDN，從而B(niǎo)C∥ED，進(jìn)而B(niǎo)C∥平面NDE，由此能證明平面BCM∥平面EDN．
（Ⅱ） 設(shè)BC中點(diǎn)為G，連接AG交DE于F．則AG⊥ED，推導(dǎo)出GF⊥平面NDE，由此能求出三棱錐M-NDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面EDN⊥平面ABC，MC⊥平面ABC，MC?平面EDN，
∴MC∥平面EDN．…（2分）
由已知，BC∥ED，∵BC?平面NDE，ED?平面NDE，
∴BC∥平面NDE．…（4分）
∵BC、MC是平面BCM內(nèi)兩相交直線，
∴平面BCM∥平面EDN．…（6分）
解：（Ⅱ） 設(shè)BC中點(diǎn)為G，連接AG交DE于F．則AG⊥ED．…（7分）
∵平面EDN⊥平面ABC，平面EDN∩平面ABC=ED，
AG?平面ABC，
∴GF⊥平面NDE．…（9分）
由已知，△NDE的面積S_△NDE=$\sqrt{3}$．GF=NF=$\sqrt{3}$，…（11分）
∴三棱錐M-NDE的體積V=$\frac{1}{3}$GF•S_△NDE=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．