Question

13．函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足：
①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇${\frac{a}{2}$，$\frac{2}}$]，則稱函數(shù)f（x）為“成功函數(shù)”．
若函數(shù)f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}}$）
• C． （${\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{4}}$）

Answer 1

分析 由f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函數(shù)”，知f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，f（x）=log_c（c^x+t）=$\frac{1}{2}$x，故c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$，由此能求出t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函數(shù)”，
∴f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
f（x）=log_c（c^x+t）=$\frac{1}{2}$x，
∴c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$，
c^x-${c}^{\frac{x}{2}}$+t=0，
令a=${c}^{\frac{x}{2}}$＞0，
∴a²-a+t=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-4t＞0\\ t＞0\end{array}\right.$，
解得t∈（0，$\frac{1}{4}$）．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域的求法，解題的關(guān)鍵是正確理解“成功函數(shù)”，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．