Question

18．已知定義在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)f（x）使得f（1+sin²x）≤f（a-2cosx）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵定義在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)f（x）使得f（1+sin²x）≤f（a-2cosx）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
∴等價(jià)為1+sin²x≥a-2cosx，
即a≤1+sin²x+2cosx恒成立，且a-2cosx≤3，即a≤3+2cosx，則a≤1，
設(shè)h（x）=1+sin²x+2cosx，則h（x）=1+sin²x+2cosx=2-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+1，
∵-1≤cosx≤1，∴-3≤h（x）≤1，
則a≤-3，∵a≤1，
∴a≤-3．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．