Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在橢圓C上，又.

（1）求焦點(diǎn)F2的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓定義知

恰好符合雙曲線的定義.動點(diǎn) 在以、 為焦點(diǎn)的雙曲線上；

（2）由（1）得曲線的方程 ,設(shè) ,聯(lián)立方程組

消去得方程有兩個(gè)正根.由韋達(dá)定理可建立與 的關(guān)系

另外，由 將由韋達(dá)定理得到的關(guān)系式代入其中可得關(guān)于關(guān)系式，再結(jié)合即可求得 的取值范圍.

試題解析：（1）

故軌跡 為以、 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支

設(shè)其方程為：

故軌跡方程為. （6分）

（2）由

方程有兩個(gè)正根.

設(shè)，由條件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即顯然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范圍為 （12分）

考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合問題.