Question

（2007•汕頭二模）過(guò)橢圓x²+2y²=2的左焦點(diǎn)引一條傾斜角為45⁰的直線，求以此直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)及橢圓中心為頂點(diǎn)的三角形的面積．

Answer 1

分析：化橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此可得三角形是以半短軸為底的三角形，直接利用面積公式求面積．

解答：解：由x²+2y²=2，得橢圓方程

x2

2

+y2=1，
∴a²=2，b²=c²=1，∴c=1，
∴左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），
∴過(guò)左焦點(diǎn)F₁的直線為y=tan45°（x+1），即y=x+1．
代入橢圓方程得3x²+4x=0，∴x1=0，x2=-

4

3

，
∴所求三角形以半短軸為底，其面積為S=

1

2

×1×|-

4

3

|=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了方程思想方法，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．