Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E為AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)
（1）求證：直線AF∥平面BEC₁
（2）求A到平面BEC₁的距離．

Answer 1

（1）取BC₁的中點(diǎn)H，連接HE、HF，
則△BCC₁中，HF∥CC₁且HF=

1

2

CC₁
又∵平行四邊形AA₁C₁C中，AE∥CC₁且AE=

1

2

CC₁
∴AE∥HF且AE=HF，可得四邊形AFHE為平行四邊形，
∴AF∥HE，
∵AF?平面REC₁，HE?平面REC₁
∴AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）等邊△ABC中，高AF=

3

2

AB=

3

，所以EH=AF=

3

由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得C₁到平面AA₁B₁B的距離等于

3

∵Rt△A₁C₁E≌Rt△ABE，∴EC₁=EB，得EH⊥BC₁
可得S_△BEC1=

1

2

BC₁•EH=

1

2

×

42+22

×

3

=

15

，
而S_△ABE=

1

2

AB×BE=2
由等體積法得V_A-BEC1=V_C1-BEC，
∴

1

3

S_△BEC1×d=

1

3

S_△ABE×

3

，（d為點(diǎn)A到平面BEC₁的距離）
即

1

3

×

15

×d=

1

3

×2×

3

，解之得d=

2 5

5

∴點(diǎn)A到平面BEC₁的距離等于

2 5

5

．…（12分）