Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{2}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，1+$\sqrt{2}$sinx）．
（1）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{sinBcosA}{sinA}$=2-cosB，求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理后，利用了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求得其值域；
（2）由已知及兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理可求2a=c，由已知利用余弦定理可求cosB的值，進而可求B，結(jié)合（1）利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{2}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，1+$\sqrt{2}$sinx）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．
（2）∵$\frac{sinBcosA}{sinA}$=2-cosB，可得：sinBcosA=2sinA-cosBsinA，
∴2sinA=sinC，由正弦定理可得：2a=c，
又∵$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，可得：b=$\sqrt{3}a$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×2a×a}$=$\frac{1}{2}$，可得：B=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．