Question

已知sin(α+β)=

5

13

，tanβ=

1

2

，且α，β∈（0，π）．
（Ⅰ）求sinβ，cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由tanβ=

1

2

=

sinβ

cosβ

，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1，解方程組求得sinβ，cosβ的值．
（Ⅱ）由sin(α+β)=

5

13

可得cos（α+β）=

12

13

 或-

12

13

，根據(jù)sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
求出sinα的值．

解答：解：（Ⅰ）∵tanβ=

1

2

=

sinβ

cosβ

，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1．
∴sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

．
（Ⅱ） 由（1）知β∈（0，

π

6

），且α+β∈（0，

7π

6

），
由 sin(α+β)=

5

13

 可得cos（α+β）=

12

13

 或-

12

13

．
∴當(dāng)cos（α+β）=

12

13

 時(shí)，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=-

2 5

65

，不合題意舍去．
當(dāng)cos（α+β）=-

12

13

 時(shí)，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

22 5

65

．
綜上，sinα=

22 5

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，注意角的范圍及角的變換，這是解題的關(guān)鍵．